Al-Khwarizmi
Bonjour les étudiant(e)s et bienvenu(e)s à Graine de Génie! Cette semaine on va quitter la Grèce Antique (on en a eu assez) et on va voyager jusqu’à Bagdad pour vous raconter l’histoire de l’un des mathématiciens les plus importants de l’histoire: Muhammad Ibn Mūsā al-Khuwārizmī, souvent connu comme Al-Khwarizmi. Il est né dans les années 780 à Khiba, dans l’actuel Ouzbékistan, et il est mort à Bagdad vers 850. C’est dans cette dernière ville où il a vécu la plupart de sa vie, étant en charge de la grande bibliothèque que l’on trouvait là-bas, souvent comparée à celle d’Alexandrie. La bibliothèque de Bagdad, ainsi que son observatoire astronomique avaient été fondés par ordre du califat Al-Mamun, afin d’encourager les arts et les sciences dans la ville. Celui-ci appartenait à la dynastie des abbassides, dynastie qui a gouverné le monde musulman de 750 à 1258.
Mais revenons à la question qui nous intéresse, pourquoi Al-Khwarizmi a été un mathématicien si important ? Qu’a-t-il fait de spécial ? Bon, tout d’abord, c’est grâce à son livre Traité du système de numérations des Indiens que les nombres indo-arabiques ont substitués aux nombres romains en Europe pendant le XIIème siècle, en donnant lieu à la numération en base décimale que l’on utilise aujourd’hui. En plus, on attribue à Al-Khwarizmi l’invention du nombre zéro ! Bon, peut être que vous n’aimez pas trop ce nombre-là, surtout quand il apparaît dans votre copie à l’examen de maths…, mais c’est clair qu’il est indispensable pour traduire des situations quotidiennes au langage mathématique ! On peut aussi remarquer le rôle joué par le mathématicien Fibonacci, dont on a déjà parlé dans notre premier article, qui a connu les nombres indo-arabiques lors de ses multiples voyages et qui a contribué à sa diffusion avec son livre Liber Abaci.
En plus, dans son œuvre Abrégé du Calcul par la restauration et la comparaison, Al-Khwarizmi présente les premières résolutions des équations linéaires et quadratiques. La méthode qu’il utilise s’appelle “Méthode de la complétude de carrées”, et sert à transformer une équation quadratique complète de la forme ax2 + bx + c avec a≠0 dans une équation plus simple. Mais je ne vous laisserai pas sur des charbons ardents… Je vais vous expliquer en quoi consiste cette procédure avec un exemple !
On suppose que l’on doit résoudre l’équation 3×2 + 24x + 40 = 0 ↔︎ 3×2 + 24x = -40 . Pour fignoler les détails, on remarque que Al-Khwarizmi n’aurait pas écrit cette équation comme ça, puisqu’à cette époque on n’utilisait pas l’algèbre d’aujourd’hui, mais on exprimait les équations avec des mots. Pour x2 il disait un carré, pour x une racine, et pour les termes indépendants, unités. Donc pour lui, dans ce problème il s’agit de trouver le nombre x tel que trois carrés de x plus 24 racines de x donnent le chiffre -40. Le but est de transformer l’expression à gauche dans un trinôme parfait, c’est à dire, sous la forme (x + h)2 +k. Alors, tout d’abord il faut avoir a = 1 dans notre équation. Comme on a a = 3, on va diviser toute notre expression par 3, en arrivant à x2 + 8x = -40 / 3.
Puis, on additionne le chiffre (b / 2)2 dans les deux membres de l’égalité. C’est à dire, dans notre cas particulier (8 / 2)2 = 16 . Ainsi, on obtient x2 + 8x + 16 = -40 / 3+ 16. Faites attention ! Maintenant il faut se rendre compte que ce que l’on a dans le membre à gauche n’est plus qu’une identité remarquable. En effet, x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 et donc notre équation sera (x + 4)2 = – 40 / 3+ 16 . Comme – 40 / 3+ 16 = 8 / 3, on résout (x+ 4)2 = 8 / 3 ↔︎ (x +4) = √ 8/3 ↔︎ x = ± 8 / 3 – 4 . Superbe ! On vient de trouver les deux solutions de notre équation x1= 8 / 3 – 4 = – 4 / 3 et x2 = – 8 / 3 – 4 = – 20 / 8 sans utiliser la formule du discriminant ! C’est cool non ? Et c’est surtout fascinant si l’on pense que Al-Khwarizmi est arrivé à cette procédure au VIIIème siècle, sans les outils algébriques dont on se sert aujourd’hui. Souvent, il a été considéré comme le père de l’algèbre et en fait, son nom traduit du latin a donné lieu au terme mathématique “algorithme”.
Le caractère des œuvres de Al-Khwarizmi était très didactique, puisqu’il voulait que celui-ci serve à la résolution de problèmes de la vie quotidienne dans l’empire islamique à cette époque-là. C’est pour cela que, en plus de la résolution des équations, on pourrait trouver dans ses livres des problèmes des aires et des volumes, tout illustré avec plusieurs exemples et applications. Finalement, ce qui est clair, c’est que Al-Khwarizmi a été un génie qui a contribué énormément à la découverte de l’algèbre et l’arithmétique que l’on utilise aujourd’hui. Bravo à lui !
Bon les étudiant(e)s, j’espère que vous avez bien aimé connaître ce mathématicien arabe. On se retrouve dans notre prochain article. Merci pour votre attention et bon courage !