Le Grand Théorème de Fermat
Bonjour et bienvenue sur Graine de Génie ! Vous êtes prêts pour l’histoire d’aujourd’hui ? On va vous présenter Pierre de Fermat ! Vous devriez avoir entendu parler de lui, parce qu’il s’agit de l’un des plus importants mathématiciens du XVIIème siècle. En plus, il était notre voisin, car il est né à Beaumont-de-Lomagne le 17 août 1601.
C’est au long de ce siècle que les mathématiques sont devenues une science indépendante, telle que celles que l’on connaît de nos jours. Fermat a indubitablement contribué à ce phénomène, en impulsant surtout l’apparition de la branche de la théorie de nombres, et étant considéré pour cela comme “le père de la théorie des nombres modernes”.
Il a étudié les mathématiques à l’université de Toulouse, et puis il est venu vivre à Bordeaux afin de rencontrer d’autres mathématiciens importants de l’époque et de continuer ses études dans ce domaine. C’est là où il a commencé son œuvre, plus spécialisée d’abord dans la branche de l’analyse. Ainsi, on doit remercier Fermat de nous avoir apporté la formule mathématique pour trouver les maximums et les minimums d’une fonction continue et dérivable f. Vous savez de quoi je parle ? Bon, cela appartient au programme de première et de terminale, c’est un niveau plutôt avancé. Il s’agit du résultat qui affirme que, si la fonction f est continue et dérivable, et qu’elle possède un maximum ou un minimum dans le nombre a appartenant au domaine de la fonction, alors on aura f'(a)= 0. Dans cette équation là, f’ désigne la dérivée de la fonction f. En conséquence, pour trouver les maximums et les minimums d’une fonction f dont on ne connaît que l’expression analytique, il suffira de résoudre l’équation en x , f'(x)= 0. C’est à dire, chercher les nombres du domaine de f qui annulent la fonction dérivée. Cela simplifie considérablement l’étude des fonctions et, en fait, la découverte de Fermat a jeté les bases pour la création du calcul infinitésimal qui a eu lieu un siècle après
Après son séjour à Bordeaux, Fermat déménage à Orléans pour étudier le droit, ce qui lui a permis, quelques années plus tard, de travailler comme conseiller au parlement de Toulouse. Cela ne l’a pas empêché de continuer à développer sa passion pour les mathématiques et, en 1630, il lit pour la première fois le document qui changera sa vie et, peut être, le cours de l’Histoire des mathématiques.
Il s’agit d’une traduction française du livre Arithmétique du mathématicien de l’Antiquité Diofanto, où l’auteur résolvait de différents problèmes sur les nombres entiers. Ainsi, dans la partie du livre dédiée au problème de décomposer un nombre comme l’addition de deux nombres différents au carré, Fermat a utilisé les marges pour écrire “l’équation xn = yn + zn n’a pas de solutions positives pour n > 2. J’ai trouvé une démonstration merveilleuse pour ce résultat, mais cette marge est trop étroite pour l’héberger”. Cette affirmation, appelée “conjecture de Fermat” est, en fait, le résultat le plus célèbre de ce mathématicien français. Oui, vous l’avez lu correctement. Fermat est devenu l’un des mathématiciens les plus connus de tous les temps grâce à une affirmation même pas montrée, et écrite dans la marge d’un ancien livre ! Sans aucune doute, la réalité supère la fiction !
Qu’est-ce que vous en pensez? Vous croyez que, en effet, Fermat avait trouvé la démonstration de la conjecture ou que, en revanche, il a été un petit malin en utilisant l’astuce de la marge du livre ? C’est un mystère…
Cependant, ce que les scientifiques pensent aujourd’hui c’est que Fermat avait démontré le résultat pour n = 3 et n = 4, et qu’il avait pensé qu’il serait capable de généraliser ce résultat pour n > 2 quelconque. En tout état de cause, l’affirmation griffonnée sur les marges du livre a inauguré le grand défi de démontrer, comme on l’a appelé plus tard, le Grand Théorème de Fermat. C’est le mathématicien anglais Leonhard Euler (dont on parlera dans l’un des prochains articles) qui a réussi à démontrer le cas pour n = 3. Puis, au long du XIXème siècle, des mathématiques notables ont montré le théorème pour différents cas concrets. Pourtant, personne n’arrivait à démontrer le Théorème dans le cas général d’un n < 2 quelconque.
Finalement, l’aventure se terminera en 1994, quand le mathématicien anglais Andrew Wiles publiera sa démonstration du Grand Théorème de Fermat. La démonstration a, sûrement, presque le même âge que vous ! Remarquez, on a eu besoin de 350 ans pour trouver finalement la preuve maudite ! À partir de là, le théorème est aussi connu comme “Théorème de Fermat-Wiles”. Avant lui, une centaine de mathématiciens avaient essayé, échouant pour ce cas-là, mais faisant d’autres contributions aux mathématiques tout aussi intéressantes.
Pour conclure, je vous aurais exposé la preuve du théorème… mais je n’ai pas eu assez d’espace ! Je la connais, je vous assure… C’est juste que cette page est trop étroite pour la contenir. En plus, je ne veux pas vous exploser la tête, puisque je vous attends dans mon prochain article ! Ici, dans notre page de soutien scolaire, ne le ratez pas ! À bientôt !