LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS : GALOIS

LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS : GALOIS

Bonjour les étudiant(e)s ! Soyez les bienvenu(e)s sur le site Graine de Génie. On se retrouve à nouveau pour parler de mathématiques. Aujourd’hui les équations polynomiales seront les à l’origine de notre article. On va voir comment un jeune de vingt et un ans, qui est mort après s’être battu en duel, a découvert une théorie mathématique qui a changé l’algèbre pour toujours : la théorie des groupes. LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS : GALOIS

Les équations polynomiales : comment les résoudre ?

Dès que les mathématiques ont commencé à se développer, les équations sont apparues. Les plus simples sont les équations avec expression :

dont a,b sont des nombres connus. Cette équation pose la question suivante : Peut-on trouver un nombre tel que quand on le multiplie par a et que l’on additionne à ce produit le nombre b le résultat soit 0 ? Ce type d’équation s’appelle polynomiale de premier degré. La réponse à la question antérieure est oui. Le nombre que l’on cherche est : 

La question devient en peu plus compliquée si on l’adjoint un autre terme de deuxième degré tel que :

a,b,c sont des nombres connus. Cette équation s’appelle polynomiale de deuxième degré et pour la résoudre il y a une formule très connue que tous les élèves apprennent :

Si l’on adjoint un terme de troisième degré on aura une équation de troisième degré :

dont la solution est très compliquée à écrire, c’est une formule très longue !

À la recherche des formules : les permutations des solutions

Alors, les mathématiciens ont toujours voulu résoudre les équations polynomiales de tous les degrés. Mais cette tâche s’est rendue impossible pour les meilleurs mathématiciens du monde. C’est Lagrange qui a trouvé la solution des équations polynomiales de quatrième degré, six siècles après que la formule pour trouver les solutions de l’équation de degré deux ait été découverte. Sa méthode était innovante : il prenait l’équation de quatrième degré

et imaginait qu’il factorisait le polynôme de l’équation comme cela : LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS : GALOIS

alors que les valeurs A,B,C et D devaient être les solutions de l’équation. Ce qu’il faisait après c’était de permuter de toutes les façons possibles les lettres A,B,C et D dans l’expression

Il y a jusqu’à vingt-quatre façons différentes d’ordonner les lettres. Toutes les expressions sont symétriques entre elles parce que peu importe comment on range les lettres, le polynôme est toujours le même, parce que les facteurs sont les mêmes dans différentes positions. Alors, en utilisant les derniers articles sur la symétrie d’autres mathématiciens, Lagrange a trouvé des propriétés qui lui permettent d’isoler les solutions A,B,C et D. Après ceci, les meilleurs mathématiciens ont essayé de trouver les solutions des équations des degrés cinq, six, sept, etc. sans succès.

Galois : l’adolescent qui a résolu le problème 

Né à Bourg-la-Reine, à Paris, en 1811, Évariste Galois a commencé ses études au Lycée Louis-le-Grand, où d’importantes célébrités comme Victor Hugo ou Robespierre ont aussi étudié. Révolutionnaire et rebelle, il a été expulsé du lycée après avoir affronté plusieurs fois le directeur avec ses opinions républicaines et contre l’église. Il avait essayé d’entrer à l’école polytechnique avec la recommandation de son professeur de lycée, qui connaissait le potentiel mathématique de Galois. Mais il ne réussit pas à entrer parce qu’il devait terminer ses études au lycée. Il a finalement été admis à l’école normale en même temps qu’il envoyait des démonstrations de problèmes mathématiques très importants à plusieurs mathématiciens de l’époque : Cauchy, Fourier, etc. Toutefois, ils ont rejeté les articles de Galois car d’autres mathématiciens plus connus à l’époque ont démontré les mêmes résultats.

A dix-neuf ans, Galois a été emprisonné huit mois après qu’il ait participé à des manifestations contre le roi Louis-Philippe I. En prison, il a envoyé son travail à Poisson, mais le mathématicien l’a aussi rejeté parce qu’il ne comprenait pas ce que Galois voulait dire.

Un mois après son emprisonnement, Galois s’est battu en duel pour l’amour d’une femme et il est mort en 1832. En 1843, le mathématicien Liouville a reconnu la valeur des manuscrits de Galois et comment il avait résolu le problème de trouver la formule d’une équation polynomiale de n’importe quel degré ; d’une telle forme que cela constituait une révolution dans les mathématiques. Ses découvertes étaient vraiment révolutionnaires comme son découvreur, Galois.

La technique de Galois

Mais, qu’est-ce que cet adolescent de vingt ans a fait qui a tant amélioré les mathématiques ? Il a introduit le concept de la structure de groupe.

Définition

Soit X un ensemble et * une opération sur l’ensemble X. On dit que le pair (X, *) est un groupe si :

1. l’opération est interne, c’est-à-dire, si a,b⋲X, alors a*b⋲X.

2. l’opération est associative, c’est-à-dire, si a,b,c⋲X, alors, a*b*c=a*(b*c)

3. Il y a un élément neutre, c’est-à-dire, il existe un élément e⋲X, tel que e*a=a*e=a pour tout élément a⋲X

4. Tout élément a de l’ensemble X, a⋲X, il existe autre élément b⋲X tel que 

a*b=b*a=e

Il a découvert que l’ensemble de toutes les permutations que Lagrange avait utilisé pour résoudre l’équation de degré quatre avait une structure de groupe quand on considérait comme opération la composition des permutations.

Une permutation n’est qu’une disposition ordonnée des éléments. Par exemple : LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS : GALOIS

(a,b,c,d)

Ici la lettre a se trouve la première, la lettre b la deuxième, la c la troisième et la d la quatrième. Mais on pourrait les ordonner de cette autre manière :

(d,b,a,c)

Ici, la lettre b continue à être la deuxième, mais en ce cas la lettre d est la première, la a est la troisième et la c la quatrième. C’est-à-dire, on a fait la permutation suivante :

(1→3→4→1)

Et on peut voir que cette permutation est un cycle : on a commencé par le numéro 1 et on est arrivé à nouveau jusqu’au numéro 1. Le grand succès de Galois a été de découvrir que les ensembles de Lagrange étaient groupes cycliques avec la composition des permutations. Il a réduit le problème de trouver une formule à étudier avec des propriétés faciles des groupes de permutations. Et en plus, ce qu’il a démontré c’est qu’il n’est pas possible de trouver une formule pour résoudre les équations polynomiales si elles sont complètes et de degré supérieur à cinq. Les mathématiciens ont essayé pendant des siècles de trouver une chose qui était impossible !

Son travail est actuellement utilisé dans plusieurs branches des mathématiques : l’algèbre, la géométrie, la topologie, la théorie des nombres, etc. Il est également dans d’autres branches des sciences comme la physique des particules et la physique quantique.

Que penses-tu de ce garçon révolutionnaire dont le travail n’a eu pas le soutien des plus importants mathématiciens de l’époque ? Penses-tu que tu serais capable de découvrir une théorie complète ? Peut-être que le prochain Galois se trouve parmi les lecteurs de Graine de Génie ?

J’espère que vous avez eu plaisir à lire cette histoire. On se verra au prochain article. À bientôt !

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