1 + 1 ne font pas toujours 2
Bonjour les étudiant(e)s et soyez à nouveau les bienvenu(e)s sur votre site de soutien scolaire Graine de Génie. Aujourd’hui on est devenu fou ! 1+1 ne font pas toujours 2 ? Comment est-ce possible ? Est-ce qu’on ne sait pas faire des additions ? Dans cet article, on va parler des anneaux de mathématiques, des anneaux de congruences et finalement, on verra pourquoi, selon l’ensemble dans lequel on considère les nombres, le résultat d’une même somme peut varier. Êtes-vous prêts ?
Les Anneaux en mathématiques
1 + 1 ne font pas toujours 2
Que sont les anneaux et pourquoi sont-ils importants ?
Cette très longue définition paraît vraiment compliquée mais il y a des anneaux que l’on utilise tous les jours : l’anneau des nombres entiers avec l’addition et le produit, c’est-à-dire : (ℤ, +, x).
En fait, c’est l’un des anneaux les plus compliqués car il a un nombre infini des éléments. Or, les Hommes ont commencé à l’utiliser dans leurs vies quotidiennes jusqu’à nos jours et il est devenu l’anneau le plus important en maths. Toutefois, il y a des anneaux beaucoup plus simples. On va construire l’anneau qui a n éléments pour chaque n⋲N et on verra qu’il y en a un, celui de douze éléments, que l’on utilise tous les jours sans le savoir. Tu peux deviner de quoi on parle ? Je vais te raconter :
Les anneaux de congruences (Zn, +, x).
Pour construire un anneau de n éléments, on doit montrer quelques définitions : lien externe
Quand on a une relation d’équivalence, on peut construire l’ensemble de toutes les classes d’équivalences, ce que l’on appelle ensemble quotient de l’ensemble X, et on le note comme :
Dans l’exemple d’avant, l’ensemble quotient est
0, 1.
Car, si le nombre est pair, il sera relié à 0, et si le nombre est impair, il sera relié à 1. Il y a donc deux classes d’équivalence.
Dans ces conditions, on peut dire que l’ensemble est un anneau. Comme il n’a que deux éléments, 0 et 1, on l’appelle Z2. Et dans cet ensemble l’addition change ! Voici le tableau des additions de Z2.
Comment ça ? 1 + 1 = 0 ?! En fait, oui. Même si 1 + 1 font normalement 2. Comme 2 est pair, le représentant de sa classe d’équivalence dans l’ensemble quotient est 0. Donc, 1 + 1 = 0 sur Z2.
En général, l’anneau (Zn, +, x), c’est-à-dire l’anneau de n éléments, on l’appelle anneaux des congruences.
Mais, à quoi ça sert tout ça ? La vérité c’est qu’on l’utilise tous les jours pour avoir le contrôle du temps.
La partie mathématique du temps : les horloges
1 + 1 ne font pas toujours 2
La méthode utilisée pour avoir le contrôle des heures, des minutes et des secondes a été depuis des siècles, l’utilisation d’horloges et de montres. En utilisant seulement douze numéros, on peut représenter les vingt-quatre heures d’un seul jour.
Mais, as-tu remarqué que s’il est 20h et que six heures passent, il n’est pas 26h mais 2h du matin ? C’est-à-dire que dans une horloge, 20 + 6 = 2. Normalement, on fait ces calculs sans penser si celui-ci est bizarre ou pas, quand, en fait, c’est très bizarre. Qu’est-ce qu’il passe ici ? La réponse se trouve dans l’ensemble Z12, l’anneau de douze éléments.
Il est construit d’une manière similaire à celle de Z2. On définit la relation d’équivalence suivante :
a♒︎b⟺a−b=12k
k étant un nombre entier quelconque.
L’ensemble quotient que l’on obtient en prenant toutes les représentations des classes d’équivalence est 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11. Voici le tableau des additions de cet ensemble qui représente l’horloge, ou par exemple, 8 + 10 = 6, ou 11 + 11 = 10 !!
Cela ne vous semble pas incroyable ? J’espère que vous, les étudiant(e)s qui regardez l’heure quand vous vous ennuyez pendant vos cours de maths au lycée, avez profité de cet article. On se verra la semaine prochaine avec plus de mathématiques et de mathématiciens. Souvenez-vous d’être toujours prudents quand vous faites une addition car 1 + 1 ne font pas toujours 2. À bientôt !