L’infini dans un carré
L’addition est probablement l’une des opérations les plus faciles dans le monde des mathématiques. Les êtres humains ont commencé à faire des additions il y a plusieurs siècles et on continue aujourd’hui à en faire puisqu’elles sont vraiment utiles : sans elles, on ne serait pas capable de développer l’algèbre ou la géométrie à notre niveau actuellement. Or, même si calculer des additions avec deux, trois ou quatre numéros est relativement simple, est-il possible d’additionner des nombres à l’infini ? Cette question a-t-elle du sens ? Les étudiants, soyez les bienvenus chez Graine de Génie. Aujourd’hui, sur ton site de soutien scolaire préféré, on parle des séries mathématiques. L’infini dans un carré
Coupons le carré de côté 1
Prenons un carré d’un mètre de côté. Si l’on se souvient de ce que nous dit la géométrie, l’aire de ce carré sera la mesure de son côté au carré, c’est-à-dire :
A = c2 = 12m2 = 1m2
Alors que l’aire de notre carré est 1m2. Si l’on coupe la moitié de ce carré, on aura deux rectangles d’aire 1/2m2. On va rester avec l’un de ces rectangles et on va couper la moitié de l’autre rectangle. Comme son aire mesure 1/2m2, après l’avoir coupé on obtiendra deux rectangles d’aire 1/4m2. En faisant comme tout à l’heure, on reste avec l’un des deux et on coupe l’autre par la moitié.
Après que l’on aura fait cette procédure n fois, on obtient un rectangle d’aire 1/2n−1 m2 et on le coupera en deux parties chacun d’aire 1/2n m2. On va rester avec l’un d’eux et l’autre on le coupera une autre fois en deux parties chacun d’aire 1/2n + 1m2.
Voici une illustration de la situation pour mieux comprendre ce que l’on fait :
Comme on peut faire cette procédure pour chaque nombre naturel n et que les nombres naturels sont infinis, on voit que l’on a comprimé une infinité de nombres : 1/2,1/4,1/8, , 1/2n, 1/2n + 1, dans un carré d’aire 1m2.
Donc, on peut dire que, si l’on fait l’addition des nombres infinis on obtient 1 !
Ceci est tellement contre l’intuition qui nous dit qu’en additionnant les nombres infinis, ce qu’on obtient c’est l’infini. Et, soyons sincère, il y a des sommes infinies dont le résultat est infini.
La partie mathématique des sommes infinies : les séries
En mathématiques, on appelle ça « séries aux sommes infinies ». On dit qu’une série est convergente ou qu’elle converge si son résultat est un nombre réel. Cependant, quand le résultat part à l’infini, on dit que la série est divergente ou qu’elle diverge.
Il y a un symbole qui nous aide à noter les séries et c’est la lettre grecque ∑. L’exemple d’avant serait donc noté par :
Et on dit que L’infini dans un carré
Qu’est-ce que ça veut dire, alors ? L’expression n = 1 qui est écrite sous le symbole ∑ nous dit que l’on va commencer l’addition par le numéro 1/2n quand n = 1, c’est-à-dire, 1/2. Après ça, n va augmenter sa valeur en une unité dans chaque terme de la somme. Le symbole de l’infini qui se trouve au-dessus de ∑, nous dit que le nombre n va augmenter jusqu’à l’infini, ou qu’il ne va jamais arrêter d’augmenter sa valeur. Finalement, l’expression qui se trouve à côté de la lettre grecque sigma s’appelle le terme général de la série qui dans ce cas est 1/2n, parce que dans l’étape n de la procédure que l’on a vue, il s’agissait de l’aire du rectangle que l’on a coupé.
Autres séries surprenantes
Qu’est-ce qu’il se passe si l’on essaie de faire l’addition infinie des puissances d’un numéro différent de 1/2 ? Par exemple, les puissances de 1/3 ? Ou celles de 2,654 ? Un théorème nous assure que la série
Converge si 0<r<1. Si r>1 la série diverge, et si r<0 elle peut converger ou bien diverger. Donc, les séries
Convergent, mais si on fait l’addition
Le résultat est infini.
L’ordre des termes peut, en fait, changer le résultat : Le théorème de Riemann
L’infini est vraiment particulier, il est capricieux. Il ne se comporte pas comme les numéros que l’on utilise tous les jours. Dans une addition entre nombres réels, l’ordre n’importe pas. C’est-à-dire, pour tous nombres réels a, b,
a + b = b + a
Mais, les séries, les additions infinies peuvent changer leurs résultats selon l’ordre dans lequel on les calcule ! C’est un résultat découvert par le mathématicien Riemann et il dit le suivant :
Par exemple, faisons la somme suivante :
C’est l’addition des contraires des nombres naturels. Il est démontré que le résultat de cette série est ln(2).
Mais, si l’on change l’ordre des termes de cette manière :
On voit que, par cette manière de procéder, on range les termes d’une telle façon que l’on n’obtient pas l’addition des contraires mais seulement celle des nombres pairs. Donc, le résultat doit être la moitié du résultat d’avant, c’est-à-dire ln2/2.
C’est pour cela que, si l’on fait l’addition des termes infinis, l’ordre est très important !
En conclusion, dans cet article on a appris que l’on peut additionner les nombres infinis et que le résultat n’est pas toujours infini, que les puissances de 1/2 rentrent tous dans un carré d’aire 1, que l’infini est un peu tricheur et que quelques fois les additions et les séries ont des résultats différents, même si les termes ont changé de place. Tu les connaissais toi les pouvoirs de l’infini ? Qui sait, peut-être que le prochain Riemann se trouve parmi les lecteurs du blog de Graine de Génie. Mais alors, il faudra lire plusieurs articles pour en apprendre encore plus sur les mathématiques. On se retrouve dans le prochain article. À bientôt !