LE MYSTÈRE DES NOMBRES PREMIERS
Bonjour les étudiant(e)s et soyez les bienvenu(e)s sur le site Graine de Génie. Peut-être que le titre vous semble un peu bizarre. Les nombres premiers sont-ils vraiment mystérieux ? Pourtant, on nous les enseigne à l’école ! Comment est-ce possible ? Mes chers amis, en fait, ce sont eux qui gardent trois des plus grands mystères des mathématiques. Ils ont des conjectures que les mathématiciens ont essayé de démontrer, toujours sans succès. Aujourd’hui, nous allons essayer de bien les comprendre. Vous-êtes prêts ?LE MYSTÈRE DES NOMBRES PREMIERS
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Cela fait des millénaires les nombres sont apparus. Ils ont servi pour compter, pour comparer, et après on les a utilisés pour faire la science et pour développer les maths. Les nombres les plus simples, les naturels, peuvent se séparer en deux grands groupes : les nombres premiers et les nombres composés.
Les nombres premiers sont des naturels différents de 1 tels car ils sont divisibles seulement par eux-mêmes et par 1. Par exemple, 3 est un nombre premier parce qu’il peut se diviser seulement par 3 (lui-même) et par 1. Si on essaye de diviser 3 par un autre nombre, on obtiendra des décimales, c’est-à-dire, qu’il n’est pas divisible.
De l’autre côté, les nombres composés sont le reste des nombres naturels. Par exemple, 4 est composé parce qu’il est divisible par 1 et par 4 ainsi que par 2.
Le théorème de factorisation unique sur les entiers.
L’ensemble des nombres entiers a une propriété très remarquable. C’est un domaine de factorisation unique. Cela veut dire que peu importe le nombre que l’on prend, on peut toujours exprimer ce nombre comme un produit des puissances des nombres premiers. En fait, cette propriété est si remarquable qu’il s’agit d’un théorème :
Ce théorème a été démontré par Euclide dans son œuvre Les Éléments. C’est le plus grand lien qui existe entre les nombres premiers et composés. Mais, est-ce qu’il existe un autre lien entre eux ? En fait, ça fait des siècles que les mathématiciens se battent avec l’arithmétique pour répondre à cette question mais l’on n’a pas encore trouvé de solution.
Ce que les mathématiciens veulent trouver est l’ordre que les nombres premiers suivent. Le premier mathématicien qui a cherché une réponse est Ératosthène, en utilisant son crible. Le crible d’Ératosthène est un procédé pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre N naturel. Pour le construire, on écrit tous les nombres de 2 jusqu’à N. Après, on enlève tous les multiples de 2. Avec ceux qui restent, on enlève les multiples de 3. Après on enlève les multiples de 5. Et on continue comme ça, jusqu’à ce que l’on arrive à enlever les multiples du dernier nombre premier entre 2 et N. Tous les nombres qui restent quand on finit, seront premiers.
Voici une représentation du crible d’Ératosthène :
Toutefois, cela n’a servi à rien pour connaître l’ordre des nombres premiers. On ne trouve pas de formule qui permette de trouver le nombre premier qui suit à partir d’un nombre donné. Et c’est l’un des plus grands mystères qui est caché dans les mathématiques.
Malgré tout, les mathématiciens ont essayé de les ordonner d’autres façons. Par exemple, Gauss a trouvé une approximation pour savoir combien de nombres premiers il y a avant un nombre naturel donné et c’est est, en fait, l’un des plus importants théorèmes des mathématiques :
Ce théorème a été amélioré grâce aux avancées mathématiques et il y a une meilleure approximation inspirée de celle de Gauss :
Cela semble un peu difficile, n’est-ce pas ? Bon, il suffit de savoir que c’est la version « prime » du théorème des nombres premiers.
On a donc vu qu’il y a un mystère autour des nombres premiers mais de toute façon, on les connait bien. Toutefois, celui dont on a parlé n’est pas le seul mystère par rapport aux nombres premiers.
La conjecture de Goldbach : comment frustrer les mathématiciens avec une seule phrase.
Peut-être l’une des conjectures les plus faciles à énoncer :
Et la démonstration ? Impossible. Le mathématicien britannique G.H. Hardy a déclaré dans son fameux discours à la Société Mathématiques de Copenhague, qu’il est l’un des problèmes les plus compliqués de toute la théorie des nombres mais aussi de toutes les mathématiques.
La première personne qui a énoncé la conjecture est Goldbach dans une lettre écrite à Euler. On peut confirmer que la personne qui démontre si cette conjecture est vraie ou fausse sera connue dans l’Histoire. Jusqu’à aujourd’hui, plusieurs mathématiciens croient toujours qu’elle est vraie grâce à deux avancées :
- Des ordinateurs tellement efficaces ont démontré que la conjecture est vraie pour tous les nombres pairs inférieures à 1018.
- Le mathématicien russe Vinográdov à démontrer dans un article que la proportion des nombres pairs qui peuvent s’exprimer de cette façon tend vers 1.
Même si l’on a découvert ces avancées, la conjecture n’est pas encore démontrée et il y a toujours un risque qu’elle soit ce que l’on appelle un indécidable de Gödel : une affirmation impossible à démontrer à partir des axiomes connus et que l’on ne saura jamais si elle est vraie ou fausse.
Une autre conjecture très importante est celle de Riemann dont on a déjà parlé quelques fois dans d’autres articles :
La découverte de la démonstration de cette hypothèse serait, également, une grande avancée dans la théorie des nombres premiers.
Crois-tu qu’un jour on sera capable de classer les nombres premiers ? Peut-être que la personne qui le fera se trouve parmi les étudiant(e)s qui lisent le blog de Graine de Génie. En attendant, on continuera à en apprendre encore plus sur les maths chaque semaine. À bientôt !