Le Nombre d'Or
Bonjour ! Dans notre premier article, on avait parlé de la Suite de Fibonacci. Rappelons-nous d’elle : Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
On avait dit que cette suite semble la préférée par notre flore et notre faune pour définir leurs structures, mais celle-ci n’est pas la seule particularité de la suite de Fibonacci. En effet, si on calcule le quotient entre chaque terme et son précédant, Fn + 1 / Fn on peut apercevoir que, à mesure que l’on avance dans l’ordre, ce quotient s’approche de plus en plus d’un nombre particulier : Φ ≈ 1.61803… C’est-à-dire, d’une manière plus mathématique (et plus correcte bien sûr), que la nouvelle suite définie comme Fn + 1 / Fn converge vers ce que l’on peut appeler, le Nombre d’Or.
Peut-être que vous vous demandez pourquoi tant d’expectations, ou pourquoi ce numéro irrationnel s’appelle comme ça, s’il est juste la limite d’une suite que j’ai décidé de définir… Bon, pour répondre à vos questions, il faut que nous nous remontions à l’antiquité…, plus concrètement, au siècle IV avant J-C.
Proche de l’année 300 avant J-C, le mathématicien grec Euclides a découvert que, si on veut couper un segment en deux parties de manière esthétique et agréable, il fallait que “le segment total soit à la partie grande comme la partie grande est à la partie petite”. Difficile à comprendre ? Alors, on va essayer de l’expliquer d’une manière plutôt algébrique.
Si on appelle les extrêmes de notre segment A, C, B, comme on peut voir sur la photo, alors il faut qu’on ait AB / AC = AC / CB.
Est-ce que la dernière égalité te dit quelque chose ? Vous vous en sortez bien avec la géométrie du lycée ? Si la réponse est affirmative, vous devriez reconnaître ici la Divine Proportion, laquelle apparaît dans de nombreux chefs-d’œuvre artistiques de tous les temps ! Alors, supposons que la mesure de notre segment AB est 1, et nommons X au segment AC. En conséquence, dans notre égalité ci-dessus on aura :
Alors, on résout cette équation de deuxième degré pour trouver la valeur de X, on prend la solution positive puisqu’elle s’agit d’une mesure et on obtient :
Si maintenant on calcule le quotient entre CB et AC on aura :
Votre tête a explosé avec tant de fractions et tant de calculs ? Vous vous êtes perdu(e)s dans la dernière égalité ? La seule chose que j’ai faite c’est multiplier dans le numérateur et dans le dénominateur par la quantité conjuguée de mon dénominateur afin de supprimer la racine carrée. Et, en effet, maintenant j’obtiens :
Oh là là ! Regardez où est-ce que l’on est arrivé ! Une autre fois, le nombre d’Or apparaît…Dans ce cas-là, il constitue le quotient entre les deux segments qui divisent un autre segment plus grand suivant la Divine Proportion ! C’est curieux non ? Cependant, cela ne finit pas ici ! On peut aussi trouver le Nombre d’Or dans les endroits les plus inattendus comme, par exemple, les pyramides de Gizeh !
En effet, si on pense à une pyramide, on peut appeler A à l’aire totale de la pyramide, Ab à l’aire de la base et At à l’aire des quatre triangles sur la base. Alors, dans le cas des pyramides de Gizeh, on vérifie que le quotient entre l’aire totale et l’aire des quatre triangles est égal au quotient entre l’aire des quatre triangles et l’aire de la base. Dans les deux cas, ce quotient n’est autre que le Nombre d’Or ! C’est-à-dire, de manière algébrique, on obtient :
Moi, j’ai la chair de poule…vous non ? Bon, comme nous avons déjà eu assez de mathématiques pour aujourd’hui, on va s’arrêter ici. Pourtant, dans notre prochain article on va rencontrer une autre fois le Nombre d’Or (il est pénible ce nombre-là), parce que l’on va parler du Pentagone des Pythagoriciens. Ne le ratez pas ! À bientôt !